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Présentation des lois statistiques en Spc.
1) Les principes des Lois Statistiques 1.1 La famille de lois de WEIBULL 1.2 La loi normale (Pierre Simon LAPLACE - 1778 & Carl Friedrich GAUSS - 1825) 1.3 La loi normale tronquée supérieure 1.4 La loi normale tronquée inférieure 1.5 La loi log-normale supérieure (Francis GALTON - 1905) 1.6 La loi log-normale inférieure 1.7 La loi demi-normale supérieure 1.8 La loi demi-normale inférieure 1.9 La loi de RAYLEIGH (John William RAYLEIGH - 1898) 2) Lois spécifiques pour les attributs 2.1 La loi binomiale (Jacques BERNOUILLI - 1699) 2.2 La loi de POISSON (Siméon Denis POISSON - 1837) 2.3 La loi multinomiale 2.4 La loi hypergéométrique (Blaise PASCAL - 1652) 3)Tableau résumé de principe de loi en fonction des symboles DIN ISO 1101 1) - Les principes des Lois Statistiques Les normes ne proposent que trois types de distributions: la loi normale, la loi des défauts de forme, et la loi de RAYLEIGH. Or bien souvent la statistique de la production ne correspond à aucune de ces formes. La mise en place informatisée propose un bien plus grand éventail de distributions paramétriques ou non. 1.1 : La famille de lois de WEIBULL Elle est utilisée dans un but d’une étude générale d’une distribution.
 : paramètre d’échelle  : paramètre de forme a : paramètre de position Selon la valeur de la loi de WEIBULL tend
vers des lois connues:
= 1
loi
exponentielle
1.5 
< 2
loi log-normale = 2
loi de
RAYLEIGH
3
3.6
loi
log-normale = 3.6
loi normale  Lorsqu’un système physique est soumis à l’influence d’un grand nombre de paramètres dont chacun des effets est de grandeur comparable, alors l’effet global suit une loi normale. Cet énoncé est une des expressions du « théorème central limite » . La loi normale indique la probabilité d’occurrence d’une caractéristique continue prise dans une population de taille infinie. Elle est utilisée comme cas général des caractéristiques continues bilatérales ou unilatérales. La loi normale est également la forme limite de plusieurs distributions lorsque la population est élevée.  (m et  sont la moyenne et
l’écart-type). 
Toute population
distribuée selon une loi normale et subissant une
opération de tri sur une limite inférieure, est
distribuée selon une loi normale tronquée
supérieure.
 
Toute population
distribuée selon une loi normale et subissant une
opération de tri sur une limite supérieure, est
distribuée selon une loi normale tronquée
inférieure.
  Elle est utilisée comme approximation de la distribution d’une caractéristique unilatérale supérieure 
(m et sont la moyenne et
l’écart-type de la loi normale sous-jacente, a est
la valeur seuil).
1.6 : La loi log-normale
inférieure
Elle est utilisée comme approximation de la distribution d’une caractéristique unilatérale inférieure 
Sont la moyenne et l’écart-type de la loi normale
sous-jacente, a est la valeur
seuil).
Elle est
utilisée pour les caractéristiques
mesurées, obtenues par la différence positive de
deux autres mesures distribuées selon une loi normale ayant
sensiblement le même écart-type. Elle est aussi
appelée « loi des défauts de forme
», ou encore « loi normale repliée
».
Exemples: - poids par double pesée (poids net = pesée du poids brut - pesée de l’emballage) - mesure de la concentricité d’un alésage (diamètre maximum - diamètre minimum)  
Elle est
utilisée pour les caractéristiques
mesurées, obtenues par la différence
négative de deux autres mesures distribuées selon
une loi normale ayant sensiblement le même
écart-type.
Elle est utilisée pour les caractéristiques « géométriques » obtenues par la combinaison de deux mesures suivant des distributions normales, indépendantes, et de même écart-type. Exemple: rayon d’une bague.
 
2) - Lois spécifiques
pour les attributs
2.1 La loi binomiale (Jacques BERNOUILLI - 1699) Elle indique la probabilité pour qu’un échantillon d’effectif n pris dans une population comprenant une proportion 
de non conformités,
ait 
non conformités.
Lorsque np est grand, la loi binomiale tend vers la loi normale.  Lorsque  , la loi binomiale tend vers une loi normale
avec une moyenne 
et un écart-type  2.2 : La loi de POISSON (Siméon Denis POISSON - 1837) Elle indique la probabilité pour qu’un échantillon pris dans une population comprenant une proportion de 
défauts, ait
défauts.
Lorsque 
, la loi de POISSON tend vers une loi normale avec une
moyenne
et un écart-type  
Elle indique la
probabilité pour qu’un
échantillon de taille N pris dans une
population comprenant k
défauts en proportions (p1,p2,p3,
…,pk), ait (n1,n2,n3,
…,nk)
défauts.
Elle ne s’applique donc qu’aux caractéristiques évaluées par attribut multiple (ou par attribut aux mesures). 
2.4 :La loi hypergéométrique (Blaise PASCAL – 1652) Elle indique la probabilité pour qu’un échantillon d’effectif n pris dans une population de taille N comprenant une proportion de p défauts, ait x défauts. A la différence de la loi binomiale, l’échantillon prélevé est supposé exhaustif (c’est à dire sans remise dans le paquet de pièces).  Np représente l’arrondi de N * p à l’entier le plus proche.  est
le nombre d’échantillons possibles
d’effectif n pris dans
la population de taille N. est
le nombre de groupement possibles de pièces ayant un
défaut. est
le nombre de groupement possibles de pièces
n’ayant pas
de défaut.
Lorsque N est grand, la loi hypergéométrique tend vers une loi binomiale de même moyenne. 
Le choix des
modèles de distribution
doit être fait en fonction du type
d’attribut :
- attribut binaire : - loi binomiale, loi de POISSON, ou loi normale, représentant le nombre de pièces défectueuses par prélèvement. - attribut aux mesures : - loi binomiale, loi de POISSON, ou loi normale, représentant le nombre de pièces hors tolérances par prélèvement (sans distinction hors tolérance supérieure ou inférieure). - loi multinomiale représentant le nombre de pièces hors tolérance inférieure ou hors tolérance supérieure, par prélèvement. - attribut multiple : - loi binomiale, loi de POISSON, ou loi normale, représentant le nombre de pièces ayant au moins un défaut par prélèvement (sans distinction du type ni du nombre de défauts). - loi multinomiale représentant le nombre de pièces ayant un défaut donné par prélèvement. Il est conseillé d’appliquer les règles suivantes pour le choix entre loi binomiale, loi de POISSON ou loi normale ; selon l’effectif n des prélèvements et la proportion p supposée de pièces défectueuses:  si np  18 : loi normale si np < 18 et n 50 : loi de POISSON si np < 18 et n < 50 : loi binomiale 3) - Tableau résumé de principe de loi en fonction des symboles DIN ISO 1101 
Rectitude :
B1
B1 :
loi demi-normale ( défaut de forme ou replié)
Planéité : B1 B2 : loi de Rayleigh Circularité : B1 N : Loi normal Cylindricité : B1 Forme d’une ligne quelconque : B1 Forme d’une surface quelconque : B1 Parallélisme : B1 Perpendicularité : B1 Inclinaison : B1 Localisation ou position : B1/ B2 Concentricité et coaxialité : B2 Battement total : B1 / B2 Battement simple :B1 Symétrie : B1 Mesure de longueur, largeur, épaisseur : N Moment de Torsion : N Rugosité : B1 Embalance : B2 Ceci en ne prenant que les lois définis par les différentes normes automobiles. |
